2017年高考數(shù)學(xué)必考知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)

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復(fù)數(shù)是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，雖然復(fù)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中所占的比重不是很大，但我們還是要學(xué)好高中數(shù)學(xué)?？嫉拿恳粋€(gè)知識點(diǎn)，下面是小編就為高中同學(xué)們整理了高中數(shù)學(xué)?？贾R點(diǎn)之復(fù)數(shù)。

高中數(shù)學(xué)?？贾R點(diǎn)之復(fù)數(shù)定義

我們把形如a+bi(a,b均為實(shí)數(shù))的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中a稱為實(shí)部，b稱為虛部，i稱為虛數(shù)單位。當(dāng)虛部等于零時(shí)，這個(gè)復(fù)數(shù)可以視為實(shí)數(shù);當(dāng)z的虛部不等于零時(shí)，實(shí)部等于零時(shí)，常稱z為純虛數(shù)。復(fù)數(shù)域是實(shí)數(shù)域的代數(shù)閉包，也即任何復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中總有根。

高中數(shù)學(xué)?？贾R點(diǎn)之復(fù)數(shù)表達(dá)式

虛數(shù)是與任何事物沒有聯(lián)系的，是絕對的，所以符合的表達(dá)式為：

a=a+ia為實(shí)部，i為虛部

高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)之復(fù)數(shù)運(yùn)算法則

例如：[(a+bi)+(c+di)]-[(a+c)+(b+d)i]=0，最終結(jié)果還是0，也就在數(shù)字中沒有復(fù)數(shù)的存在。[(a+bi)+(c+di)]-[(a+c)+(b+d)i]=z是一個(gè)函數(shù)。

高中數(shù)學(xué)?？贾R點(diǎn)之復(fù)數(shù)與幾何

①幾何形式

復(fù)數(shù)z=a+bi被復(fù)平面上的點(diǎn)z(a，b)唯一確定。這種形式使復(fù)數(shù)的問題可以借助圖形來研究。也可反過來用復(fù)數(shù)的理論解決一些幾何問題。

②向量形式

復(fù)數(shù)z=a+bi用一個(gè)以原點(diǎn)O(0,0)為起點(diǎn)，點(diǎn)Z(a,b)為終點(diǎn)的向量OZ表示。這種形式使復(fù)數(shù)四則運(yùn)算得到恰當(dāng)?shù)膸缀谓忉尅?/p>

③三角形式

復(fù)數(shù)z=a+bi化為三角形式

加法法則

復(fù)數(shù)的加法按照以下規(guī)定的法則進(jìn)行:設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，

則它們的和是(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

兩個(gè)復(fù)數(shù)的和依然是復(fù)數(shù)，它的實(shí)部是原來兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部的和，它的虛部是原來兩個(gè)虛部的和。

復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，

即對任意復(fù)數(shù)z1,z2,z3,有

減法法則

復(fù)數(shù)的減法按照以下規(guī)定的法則進(jìn)行:設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，

則它們的差是

兩個(gè)復(fù)數(shù)的差依然是復(fù)數(shù)，它的實(shí)部是原來兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部的差，它的虛部是原來兩個(gè)虛部的差。

乘法法則

規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法按照以下的法則進(jìn)行

設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積

其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，展開得: ac+adi+bci+bdi^2，因?yàn)閕^2=-1，所以結(jié)果是(ac-bd)+(bc+ad)i 。兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)。

除法法則

復(fù)數(shù)除法定義:滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商

運(yùn)算方法:可以把除法換算成乘法做,在分子分母同時(shí)乘上分母的共軛. 所謂共軛你可以理解為加減號的變換,互為共軛的兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘是個(gè)實(shí)常數(shù)

除法運(yùn)算規(guī)則

于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i②利用共軛復(fù)數(shù)將分母實(shí)數(shù)化得(見右圖

點(diǎn)評:①是常規(guī)方法

②是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡無理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思想方法，而復(fù)數(shù)c+di與復(fù)數(shù)c-di，相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的 的對偶式，它們之積為1是有理數(shù)，而(c+di)·(c-di)=c2+d2是正實(shí)數(shù).所以可以分母實(shí)數(shù)化. 把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法。

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